СИЛОВЫЕ КАБЕЛИ 1-10 КВ С ПЛАСТМАССОВОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ
Расчет активного и индуктивного сопротивлений

«Подскажите, где можно найти таблицы с удельными сопротивлениями силовых кабелей с пластмассовой изоляцией?».

Михаил Каменский, к.т.н., заведующий лабораторией силовых кабелей

Подобные вопросы в последнее время всё чаще появляются в редакционной почте. Их задают специалисты проектных и электроснабжающих организаций, которым необходимы эти данные для правильного расчета токов коротких замыканий. Нормативно-техническая документация с точными параметрами отсутствует. Мы обратились во Всероссийский НИИ кабельной промышленности (ВНИИКП), специалисты которого Михаил Кузьмич Каменский и Станислав Дмитриевич Холодный сегодня рассказывают о методике расчета удельных сопротивлений силовых кабелей.

Станислав Холодный, д.т.н., старший научный сотрудник ОАО «ВНИИКП», г. Москва

При расчете токов коротких замыканий в электрических сетях в соответствии с ГОСТ 28249-93 [1] необходимо знать величины активного и индуктивного сопротивлений прямой, обратной и нулевой последовательностей силовых кабелей. В настоящее время промышленность освоила выпуск нового поколения кабелей с пластмассовой изоляцией на напряжение 1–10 кВ. В связи с этим назрела необходимость уточнения параметров таких кабелей и внесения их в нормативную документацию. Во ВНИИКП разработан инженерный метод расчета сопротивлений прямой, обратной и нулевой последовательностей многожильных силовых кабелей на напряжение 0,6/1 кВ и одножильных кабелей на напряжение 6/10 кВ с изоляцией из сшитого полиэтилена как наиболее востребованной группы кабелей для распределительных сетей.

Основа методики расчета
В основу метода расчета положено представление несимметричных напряжений (токов) в трехфазной симметричной сети в виде суммы трех симметричных составляющих: прямой, обратной и нулевой последовательностей, различающихся чередованием фаз. В этом случае значения фазных напряжений будут определены в виде комплексных величин:

(1)

где , – единичные векторы. Решая систему уравнений (1) относительно трех неизвестных U₁, U₂ и U₀, получим:

(2)

где – симметричные составляющие фазных напряжений прямой, обратной и нулевой последовательностей соответственно.
Если к симметричной цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой, обратной и нулевой последовательностей, то в ней возникает симметричная система токов прямой, обратной и нулевой последовательностей. Отношения симметричных составляющих фазных напряжений к соответствующим симметричным составляющим токов являются комплексными сопротивлениями прямой (z₁), обратной (z₂) и нулевой (z₀) последовательностей. Для симметричной трехфазной цепи сопротивления прямой и обратной последовательностей одинаковы и равны [2]:

z1 = z2 = R – jwL,

(3)

где R – активное сопротивление жилы кабеля, Ом/м;
L – индуктивность жилы кабеля, Гн/м.

Понятие средней индуктивности
Следует иметь в виду, что сопротивление некоторых конструкций кабелей не является симметричным, например, четырехжильных кабелей или одножильных кабелей, расположенных в одной плоскости. В этом случае при расчетах вводят понятие средней индуктивности Lср. В этой связи средняя индуктивность четырехжильного кабеля или одножильных кабелей, расположенных в плоскости, будет равна:

(4)

где – среднее расстояние между центрами жил кабеля, мм; d₀ – диаметр токопроводящей жилы, мм;
m₀ = 4p • 10^–7 Гн/м – относительная магнитная проницаемость.
Для четырехжильных кабелей (рис. 1) среднее расстояние между центрами жил в соответствии с [2] может быть рассчитано по формуле:

(5)

где – расстояние между центрами жил кабеля, мм.

Рис. 1. Схема четырехжильного кабеля



Рис. 2. Схема прокладки одножильных кабелей



При прокладке одножильных кабелей в одной плоскости среднее расстояние между центрами жил будет равно:

(6)

где – расстояние между центрами кабелей (рис. 2).

Эффект близости
При расчете индуктивности следует учитывать и влияние поверхностного эффекта и эффекта близости. Индуктивность симметричной цепи из двух изолированных жил можно рассчитать по формуле [3]:

(7)

где L_1-2 – индуктивность цепи, Гн/км;
d₀ – диаметр токопроводящей жилы, мм;
– расстояние между центрами жил, мм;
Q (Х) – коэффициент, учитывающий внутреннюю индуктивность токопроводящей жилы.
Значения Q (Х) в зависимости от параметра Х принимаем по данным [3]. Параметр Х рассчитываем по формулам:
– для медных жил;

– для алюминиевых жил, где f – частота, Гц.
При расчетах индуктивности кабелей с секторными жилами следует принимать значение эквивалентного диаметра жилы, который равен диаметру круглой жилы, имеющей ту же площадь поперечного сечения, что и секторная жила. Для четырехжильных кабелей среднее расстояние между центрами основных жил:

.

Тогда индуктивность в пересчете на одну жилу получим по формуле:

(8)

где L – индуктивность в пересчете на 1 жилу четырехжильного кабеля, мГн/км;
k – коэффициент формы. Для трехжильных кабелей k = 1, для четырехжильного кабеля k = 1,12.
Значение коэффициента Q(Х) в зависимости от сечения токо-проводящей жилы принимают от 0,5 до 1. Как правило, для большинства типов силовых кабелей значение Q(Х) принимают равным 0,5 или 0,75 [5, 6]. Результаты расчета параметров четырехжильных кабелей типа АПвПГ (АПвВГ) на 0,6/1 кВ (производство по ТУ 16.К71-277-98) – в табл. 1.

Особенности расчета одножильных кабелей
При расчете сопротивлений одножильных кабелей с пластмассовой изоляцией среднего напряжения надо учитывать, что токи в металлических экранах приводят к увеличению эффективного активного сопротивления и снижению индуктивного сопротивления. В этом случае полное сопротивление одножильного кабеля в трехфазной системе (z) можно рассчитать вместо формулы (3) по формуле:

z = R1(1 + y) + jw(L – wMЭ • m2),

(9)

где у – коэффициент потерь энергии в металлическом экране,

(10)

(11)

где R_Э – активное сопротивление металлического экрана, Ом/км;
R₁ – активное сопротивление токопроводящей жилы, Ом/км;
М_Э – коэффициент взаимной индуктивности для экранов, мГн/км,

(12)

где d_Э – диаметр металлического экрана, мм.
При расположении одножильных кабелей в плоскости с расстоянием между кабелями, равным диаметру кабеля, значение взаимной индуктивности (М_Э) примерно равно М_Э = 0,322 мГн/км, wМ_Э = 0,1 Ом/км. Значение m²М_Э при сечениях экрана до 35 мм² не более 2% от общей индуктивности кабеля, поэтому его влиянием можно пренебречь. Однако увеличение сопротивления жилы за счет потерь в экране кабеля при сечении токопроводящих жил более 300 мм₂ достигает 22,6%, поэтому оно должно учитываться при расчетах полного сопротивления одножильного кабеля.
Результаты расчета параметров одножильного кабеля марки АПвП 6/10 кВ (производство по ТУ 16.К71-335-2004) – в табл. 2.

Таблица 1. Расчетные значения параметров прямой последовательности кабелей марки АПвПГ (АПвВГ) 0,6/1 кВ

Сечение токопроводящих жил, мм2	25	35	50	70	95	120	150	185	240
Толщина изоляции, мм	0,9	0,9	1,0	1,1	1,1	1,2	1,4	1,6	1,7
Наружный диаметр, мм	24	26	27	32	35	39	42	47	52
Активное сопротивление при 90 оС, Ом/км	1,54	1,11	0,822	0,568	0,411	0,325	0,265	0,211	0,162
Индуктивность, мГн/км	0,267	0,260	0,255	0,252	0,247	0,246	0,247	0,248	0,245
Индуктивное сопротивление, Ом/км	0,083	0,082	0,080	0,079	0,076	0,077	0,076	0,078	0,077

Таблица 2. Расчетные значения параметров кабеля марки АПвП (АПвВ) 6/10 кВ

Сечение жилы, мм2	25	35	50	70	95	120	150	185	240	300	400	500
Сечение экрана, мм2	16	16	16	16	16	16	25	25	25	25	35	35
Наружный диаметр кабеля, мм	23	24	26	27	29	30	32	33	36	39	42	45
Активное сопротивление при 90оС, Ом/км	1,540	1,110	0,820	0,568	0,410	0,324	0,264	0,210	0,160	0,128	0,0997	0,0776
Активное сопротивление с учетом потерь в экране, Ом/км	1,550	1,120	0,825	0,570	0,414	0,332	0,276	0,222	0,173	0,141	0,118	0,0955
Индуктивное сопротивление при прокладке треугольником, Ом/км	0,163	0,156	0,149	0,141	0,136	0,131	0,119	0,117	0,112	0,110	0,104	0,100
Индуктивное сопротивление при прокладке в плоскости, Ом/км	0,230	0,214	0,208	0,199	0,193	0,188	0,176	0,172	0,170	0,167	0,162	0,158

Таблица 3. Расчетные значения параметров нулевой последовательности кабеля марки АПвПГ (АПвВГ) 0,6/1 кВ

Сечение жилы, мм2	25	35	50	70	95	120	150	185	240
Толщина изоляции, мм	0,9	0,9	1,0	1,1	1,1	1,2	1,4	1,6	1,7
Индуктивность (при Q(х) = 0,5), мГн/км	0,282	0,272	0,271	0,263	0,263	0,257	0,260	0,262	0,261
Индуктивное сопротивление, Ом/км	0,0880	0,0852	0,0850	0,0826	0,0826	0,0810	0,0816	0,0822	0,0820
Активное сопротивление жилы при 90 оС, Ом/км	1,54	1,11	0,822	0,568	0,411	0,325	0,265	0,211	0,162
Активная составляющая сопротивления нулевой последовательности (Rez0), Ом/км	2,060	1,790	1,780	1,480	1,220	1,030	0,880	0,735	0,580
Реактивная составляющая сопротивления нулевой последовательности (Imz0), Ом/км	0,490	0,446	0,40	0,367	0,316	0,294	0,282	0,270	0,260

Рис. 3. Схема токов нулевой последовательности в 4-жильном кабеле




Рис. 4. Схема замещения цепи «фаза – нулевая жила»


О сопротивлении нулевой последовательности
Для расчета сопротивлений нулевой последовательности рассмотрим схему токов нулевой последовательности в четырехжильном кабеле, приведенную на рис. 3. Падение напряжения в цепи нулевой последовательности (фаза – нулевая жила) рассмотрим по схеме замещения цепи, приведенной на рис. 4, которая аналогична схеме замещения в [2]:

U0 = I0z0 ,

(13)

где U₀ – падение напряжения нулевой последовательности;
I₀ – ток нулевой последовательности;
z₀ – сопротивление нулевой последовательности.
Сопротивление нулевой последовательности будет равно:

z0 = R1 + 3jx0,3 + 3z0,3 ,

(14)

где R₁ – активное сопротивление прямой последовательности жилы кабеля, Ом/км;
х_0,З – индуктивное сопротивление прямой последовательности: три жилы – нулевой проводник;
z_0,З – суммарное сопротивление нулевого проводника (R₀) и реактивного сопротивления земли (х_З).
Значение z_0,З можно рассчитать по формуле:

(15)

где R₀ - активное сопротивление нулевого проводника, Ом/км. Активную (Rez₀) и реактивную (Imz₀) составляющие z₀ получим по формулам:

(16)

(17)

Значение реактивного сопротивления х_0,З для четырехжильного кабеля можно определить по формуле:

x0,З = jwL0,З ,

(18)

где L_0,З – индуктивность прямой последовательности: три жилы – нулевой проводник, которую можно рассчитать по формуле (8).
В расчетах х_З в соответствии с рекомендациями [4, 5] принимают равным 0,6 Ом/км.

Результаты расчета параметров четырехжильных кабелей марки АПвВГ (АПвПГ) приведены в табл. 3. Приведенные в таблицах 1–3 параметры силовых кабелей могут быть использованы для практических целей при проектировании кабельных линий.
Нужно обратить внимание на то обстоятельство, что индуктивное сопротивление одножильных кабелей с полиэтиленовой изоляцией в трехфазной сети в значительной мере зависит от взаимного расположения кабелей. Эта зависимость особенно проявляется в случае параллельной прокладки в плоскости двух и более кабелей на одну фазу.
В этом случае при расчете индуктивности по выражению (4) необходимо в качестве среднего расстояния между осями кабелей (ср) использовать среднее геометрическое значение расстояния между осями проложенных совместно кабелей.

Руководствуясь предложенным методом расчета, можно определить сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательностей для кабелей с пластмассовой изоляцией любого конструктивного исполнения.
При этом дополнительно необходимо учитывать увеличение индуктивности, если кабель содержит металлическую оболочку или броню из стальных лент или других ферромагнитных материалов.

Литература
1. ГОСТ 28249-93. Короткие замыкания в электропроводках. Методы расчета в электроустановках переменного тока напряжения до 1 кВ.
2. Ульянов С.А. Короткие замыкания в электрических системах. – М.: Госэнергоиздат, 1949.
3. Основы кабельной техники. Уч. пособие для вузов / Под редакцией В.А. Привезенцева. – М.: Энергия, 1975.
4. Холодный С.Д., Филиппов М.М., Кричко В.А., Миронов И.А. Расчет токов в оболочках и экранах и их термической стойкости при однофазном двойном замыкании в разветвленной кабельной сети // Электричество. – 2001. – № 8.
5. Платонов В.В., Быкадоров В.Ф. Определение мест повреждения на трассе кабельной линии. – М.: Энергоатомиздат, 1993.
6. Электротехнический справочник / Под редакцией профессоров МЭИ. Том 2. – М.: Энергоатомиздат, 1986.