Влияние размеров горизонтальных заземлителей на сезонные изменения их сопротивления

Пластина, расположенная на поверхности земли, может служить моделью заземлителя электроустановки, горизонтальные размеры которого значительно превышают длины его вертикальных элементов. Разумеется, такая модель не позволяет рассчитывать электрическое поле внутри территории электроустановки, однако она может служить для расчета внешних полей, включая оценку сопротивления заземления при известных параметрах грунта, размере и форме заземлителя. В [1] нами был предложен алгоритм, позволяющий производить необходимые расчеты. В настоящей статье подробнее рассматривается этот алгоритм, а также его использование для оценки влияния сезонных изменений удельного сопротивления грунта на заземлители различных размеров.
Расчеты заземлителей сложной конфигурации основываются на предложенной Максвеллом системе линейных уравнений. В задачах электростатики коэффициенты этих уравнений называются потенциальными коэффициентами, а при расчетах полей в проводящей среде им соответствуют собственные и взаимные сопротивления отдельных электродов.

A


Рис. 1. Квадратная пластина А, разделенная на 4 элементарных квадрата

Рассмотрим, например, квадратную пластину А, разделенную на четыре элементарных квадрата, как показано на рис. 1. Пусть с этой пластины стекает ток I. Тогда для элементарного квадрата 1 можно написать уравнение

(1)

где ₁₁, _АА - собственные сопротивления соответственно квадратов 1 и А,
₁₂, ₁₃, и ₁₄, - взаимные сопротивления элементарного квадрата 1 и остальных элементарных квадратов,
i₁…i₄ - токи, стекающие с элементарных квадратов,
_ААI - потенциал квадрата А при стекании с него тока I. Учитывая, что в силу симметрии все токи элементарных квадратов одинаковы и равны I/4, а также, что ₁₂ = ₁₄ из уравнения (1) получим:

(2)

Если земля однородна, то как собственные, так и взаимные сопротивления электродов любой формы, расположенных на ее поверхности, можно выразить формулами следующего вида:

(3)

где r - удельное сопротивление среды (Ом.м),
^* - какой-нибудь характерный размер, пропорциональный размерам электрода (м),
_j,k - безразмерные величины, зависящие от выбора характерного размера, но одинаковые для всех геометрически подобных электродов и/или их пар.

Значения величин _j,k для квадратов, расположенных, как показано на рис. 1, вычислены в [2]. Они равны:

(4)

(5)

Индексы j и k указывают на то, что эквивалентные удельные сопротивления различны для различных электродов и их пар и зависят от их размеров, формы и взаимного расположения.

Введем также обозначение отношения эквивалентного удельного сопротивления к удельному сопротивлению верхнего слоя грунта:

(6)

Тогда для электрода, изображенного на рис. 1, можно будет написать на основании (3), (5) и (6):

(7)

откуда с учетом (4) и принимая во внимание, что L = 2, получим зависимость:

(8)

Рис. 2. Многослойная проводящая структура

Как видно из рис. 2, каждый слой i многослойной среды характеризуется своим удельным сопротивлением r_i , а также мощностью (толщиной) h_i. В дальнейшем будут использованы величины

h - наибольший общий делитель мощностей слоев (м),

- относительная мощность слоя i,

- так называемый коэффициент отражения на границе слоев i и i+1.

Величины для взаимного сопротивления двух точечных электродов j и k, расположенных на поверхности многослойной среды, можно найти по формуле [3]:

(9)

где r_j,k - расстояние между точками j и k,

q_n - так называемые коэффициенты эмиссии.

Существует несколько способов определения коэффициентов эмиссии. Для рассматриваемой задачи, ограниченной лишь поверхностью многослойной среды, удобнее всего воспользоваться рекуррентными формулами, позволяющими, задавшись значением

вычислять последовательно любое число этих величин.

Приведем рекуррентную формулу для четырехслойной среды [4]:

(10)

Если в процессе вычислений будет получено отрицательное значение индекса, то соответствующий коэффициент эмиссии приравнивается нулю: q_n<0 = 0.

Величины М, относящиеся к взаимным сопротивлениям пластин, поддаются непосредственному расчету путем интегрирования функции (9) по площадям обеих пластин. Однако эта операция чрезвычайно громоздка, так как она требует четырехкратного интегрирования выражения, включающего в себя бесконечный ряд. Во избежание этого можно принять, что их значения близки к значениям, получаемым по формуле (9) для центров соответствующих квадратов.

Величины М, относящиеся к собственному сопротивлению квадратной пластины, не могут быть вычислены непосредственно. Для их определения воспользуемся следующим приемом.

Будем исходить из того, что для расстояний r_j,k << h величина М практически равна единице. Выберем такие значения величин L₀ и m, при которых

(11)

и будем считать, что для квадрата со стороной, равной L₀, эквивалентное удельное сопротивление равно удельному сопротивлению верхнего слоя грунта, т.е. М₀ = 1.
Пусть теперь индекс k принимает значения k = 0…m и означает номер последовательного этапа расчета значения величины М для квадрата со стороной, равной L.
Тогда, несколько изменив обозначения в выражении (8), можно будет написать:

(12)

Так как расстояния между центрами соответствующих элементарных квадратов на каждом этапе расчетов равны , то после простых преобразований с учетом (11) получим для величин M2_k и M3_k следующие выражения:

(13)

(14)

Число суммируемых членов можно ограничить величиной S, выбранной таким образом, чтобы некоторое увеличение этого числа не вносило заметных изменений в результат. Для этого может потребоваться значение S = 10000 и более.

Расчетное значение сопротивления квадратной пластины со стороной L будет равно

(15)

В таблице 1 приводятся результаты расчетов величины М для трех проводящих структур:

1. Два слоя: r₁ = 900 Ом.м; r₂ = 100 Ом.м; h₁ = 2 м.

2. Два слоя: r₁ = 100 Ом.м; r₂ = 900 Ом.м; h₁ = 2 м.

3. Четыре слоя: r₁ = 100 Ом.м; r₂ = 900 Ом.м; r₃ = 100 Ом.м; r₄ = 3000 Ом.м;

h₁ = 2 м; h₂ = 20 м; h₃ = 20 м.

Таблица 1. Зависимость величины М от размера квадратного заземлителя для различных структур грунта

k	Сторона квадрата	M для структур:
	(м)	1	2	3
0	0,244	1	1	1
1	0,488	0,961	1,108	1,1
2	0,977	0,902	1,27	1,25
3	1,953	0,8	1,56	1,518
4	3,906	0,632	2,085	2,001
5	7,813	0,429	2,234	2,766
6	15,63	0,277	4,085	3,756
7	31,25	0,195	5,39	4,777
8	62,5	0,153	6,624	5,643
9	125	0,132	7,588	6,792
10	250	0,122	8,224	8,946
11	500	0,116	8,592	12,33
12	1000	0,114	8,791	16,52
13	2000	0,112	8,894	20,77

Из таблицы 1 видно, что по мере увеличения размеров заземлителя его сопротивление все в большей степени зависит от подстилающих слоев грунта. Это выражается в том, что с ростом стороны квадрата значение величины М стремится к значению отношения r_N/r₁, где r_N - удельное сопротивление нижнего слоя грунта. По этой причине увеличение размеров заземлителей приводит к существенному уменьшению сезонных изменений их сопротивления.

В качестве примера возможных сезонных изменений в таблице 2 приводятся значения эквивалентных удельных сопротивлений квадратных пластин, лежащих на поверхности двухслойного грунта с толщиной верхнего слоя h₁ = 2 м и удельным сопротивлением нижнего слоя грунта r₂ = 100 Ом.м, в широком диапазоне изменений удельного сопротивления верхнего слоя r₁.

Таблица 2. Зависимость эквивалентного удельного сопротивления r_экв для квадратов со стороной L от удельного сопротивления верхнего слоя грунта r₁ при h₁ = 2 м и r₂ = 100 Ом.м

L(м)		2,5	5	10	20	40	80	160
r1 (Ом.м)	25	35	44	56	69	81	89	94
	50	59	66	76	85	91	95	98
	100	100	100	100	100	100	100	100
	200	175	156	134	119	110	105	102
	400	318	257	192	148	125	112	106
	800	600	454	302	203	152	126	113
	1600	1162	842	516	311	206	153	127
	3200	2283	1615	942	525	313	207	153

Таким образом, в рассматриваемом диапазоне удельных сопротивлений верхнего слоя грунта сопротивление квадратной пластины со стороной 2,5 м, вычисленное по формуле (15), изменяется в пределах 6,63 432 Ом, а сопротивление заземлителя такой же формы со стороной 160 м - в пределах 0,278 0,423 Ом.

Разумеется, сезонные изменения могут распространяться и на более глубокие слои грунта. Поэтому для оценки возможных изменений сопротивлений конкретных заземлителей необходимо иметь более точные сведения о состоянии грунта в зоне их расположения в различные времена года. Изложенный выше алгоритм позволяет производить оценку их сопротивлений для двух-, трех- и четырехслойных грунтов. Он может быть распространен и на большее число слоев, для чего следует заменить формулу (9) на рекуррентную формулу для соответствующего числа слоев.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ослон А.Б., Коструба С.И. Модель заземлителя электроустановки в неоднородном грунте. - Электричество, 2005, № 1.
2. Ослон А.Б. Некоторые вопросы теории заземлений. - Scientific Press, 2003.
3. Заборовский А.И. Электроразведка. - М.: Гостоптехиздат, 1963.
4. Ослон А.Б., Делянов А.Г. Расчет электрического поля на поверхности слоистого грунта с использованием рекуррентных формул. - В кн.: Динамика электромеханических систем. - Тула.: Изд. Тульск. Политех. ин-та, 1978.